EMSaD 9
CÁLCULO DIFERENCIAL
HISTORIA DEL CÁLCULO
MAESTRA: RITA OLGA LIDIA AGUIRRE LEPE
ALUMNO: ANDRÉS
ROMÁN AGUIRRE HERNÁNDEZ
MATRÍCULA: E009172004
GRADO/GRUPO: 5°
SEMESTRE A
SAN SEBASTIÁN DEL OESTE, JALISCO. 25/SEPTIEMBRE/2019
I N T R O D U C C I Ó N
“El Cálculo Infinitesimal es la rama
de las matemáticas que comprende el estudio y aplicaciones del Cálculo
Diferencial e Integral”
El cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la
humanidad. Una vez construido, la historia de las matemáticas ya no fue igual:
la geometría, el álgebra, la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una
nueva perspectiva teórica (detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva
teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su
nacimiento).
Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo, pero
representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron
ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores
inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria
como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior.
Sin la contribución de muchos otros hombres, el cálculo de Newton y
Leibniz seguramente no existiría.
¿QUÉ ES EL CÁLCULO?
La palabra cálculo proviene del término latino calculus (“piedra”) y se
refiere a la cuenta, la enumeración que se lleva a cabo mediante un ejercicio
matemático.
Consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado
de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden
derivar de unos datos previamente conocidos.
HISTORIA DEL CÁLCULO
Los avances obtenidos desde que cada cultura implemento su sistema
numérico, aún son utilizados actualmente. El avance algebraico de los egipcios,
dio como resultado la resolución a ecuaciones. La correcta implementación de la
regla aritmética de cálculo, por parte de los indios, aumentó el conocimiento
matemático, y la creación de los números irracionales, además que ayudó a la
resolución de sistemas de ecuaciones.
Después de esta época, Grecia deja de ser el centro evolutivo de las
matemáticas, conflictos sociales y políticos que se vivían en esa época alejan
a Grecia de esta ciencia. Por esta situación otro imperio toma las riendas de
los avances matemáticos.
El Cálculo Diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios
sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer
al vacío ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe
calcularse teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo
infinitesimalmente pequeño.
Se considera que Arquímedes fue uno de los matemáticos más grandes de la
antigüedad y, en general, de toda la historia. Usó el método exhaustivo
(procedimiento geométrico de aproximación a un resultado, con el cual el grado
de precisión aumenta en la medida en que avanza el cálculo) para calcular el
área bajo el arco de una parábola con el sumatorio de una serie infinita, y dio
una aproximación extremadamente precisa del número Pi. También definió la
espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de
revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy largos.
La consideración del cálculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado
en todos los ámbitos del conocimiento se debe a Aristóteles, quien en sus
escritos lógicos fue el primero en formalizar y simbolizar los tipos de
razonamientos categóricos.
Al principio el cálculo fue desarrollado para estudiar específicamente
cuatro problemas científicos y matemáticos:
• Encontrar la tangente a una
curva en un punto.
• Encontrar el valor máximo o
mínimo de una cantidad.
• Encontrar la longitud de
una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.
• Dada una fórmula de la distancia
recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y
la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una
fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier
instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de
tiempo conocido.
En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes
del siglo XVII, filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el
físico-matemático inglés Issac Newton. Se sabe que los dos trabajaron en forma
casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton están
motivados por sus propias investigaciones físicas (de allí que tratara a las
variables como "cantidades que fluyen") mientras que Leibniz conserva
un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada
como un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de
derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama
diferenciales. Un incremento de x infinitamente pequeño se llama diferencial de
x, y se anota dx.
Lo mismo ocurre para y (con notación dy). Lo que Newton llamó fluxión,
para Leibniz fue un cociente de diferenciales (dy/dx). No resulta difícil
imaginar que, al no poseer en esos tiempos un concepto claro de límite y ni
siquiera de función. Se puede decir que el cálculo de fluxiones de Newton se
basa en algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, y las
diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extrañas que, aunque se
definen, no se comportan como incrementos.
El siglo XVIII durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y
Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física,
astronomía e ingeniería. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de
variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange,
también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica,
realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría
de números, y desarrolló la teoría de grupos.
Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades
(1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre
de "el Newton francés".
Sin embargo, el gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien
aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y
sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que
se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas
disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas
tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar
la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del
cálculo. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de
Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente
algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos
sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría
griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.
En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y
apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de "función
continua". Basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el
concepto de límite. Esta solución planteó un nuevo problema, el de la
definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy
estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Dedekind
quien encontró una definición adecuada para los números reales. Los matemáticos
alemanes Cantor y Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo
tiempo.
Gauss desarrolló la geometría no euclideana, pero tuvo miedo de la
controversia que pudiera causar su publicación. También en este siglo se pasa
del estudio simple de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas
algebraicos.
Los fundamentos de la matemática fueron completamente transformados
durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés Boole en su libro
“Investigación sobre las leyes del pensamiento” en 1854.
Siglo XX y XXI fue importante el aporte realizado por Lebesgue referido
a la integración y a la teoría de la medida y las modificaciones y
generalizaciones realizadas por matemáticos que lo sucedieron.
En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París
en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma
sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó veintitrés problemas
matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática
del siglo que recién comenzaba. Estos problemas fueron el estímulo de una gran
parte de los trabajos matemáticos del siglo.
El avance originado por la invención del ordenador o computadora digital
programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el
análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó nuevas áreas de investigación
matemática como el estudio de los algoritmos. Se convirtió en una poderosa
herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones
diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador permitió encontrar
la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver
anteriormente.
MÁXIMOS REPRESENTANTES DEL CÁLCULO
Arquímedes de Siracusa (212 a.c.-287 a.c.)
Relaciones entre las áreas y volúmenes de figuras limitadas por líneas,
curvas y superficies (cono, esfera y otros sólidos en revolución). Éstos se
encuentran en su libro llamado “Conoides y Esferoides”.
Kepler, Johannes (1571-1630)
1° Todo planeta describe en sentido directo una elipse en uno de cuyos
focos se encuentra el Sol.
2° Las áreas descritas por el radio vector que une al centro del planeta
con el centro del Sol son proporcionales a los tiempos empleados en
describirlas.
3° Los cuadrados de los tiempos de las revoluciones siderales de los
planetas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas.
René Descartes (1596-1650)
La principal aportación de Descartes al cálculo fue el intento de
unificar la antigua geometría con el álgebra. Junto con su paisano Pierre
Fermat, inventó lo que hoy en día conocemos como la Geometría Analítica, que es
donde se sientan las bases para el desarrollo del cálculo.
Pascal, Blaise (1623 – 1662)
Aportación al cálculo muy concreta: la invención de la roulette o
cicloide, que se define como la curva plana descrita por un punto de una circunferencia
cuando esta rueda sobre una línea recta.
Isaac Newton (1642-1727)
El teorema del binomio, descubierto hacia 1664-1665, El 13 de junio de
1676, en respuesta a una petición de Leibniz que quería conocer los trabajos de
matemáticos ingleses sobre series infinitas, Newton presenta el enunciado de su
teorema y un ejemplo que lo ilustra, y menciona ejemplos conocidos en los
cuales se aplica el teorema.
Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646 – 1716)
Leibniz estableció la resolución de los problemas para los máximos y los
mínimos, así como de las tangentes, esto dentro del cálculo diferencial; dentro
del cálculo integral logró la resolución del problema para hallar la curva cuya
subtangente es constante. Expuso los principios del cálculo infinitesimal,
resolviendo el problema de la isócrona (ver biografía de Bernoulli) y de
algunas otras aplicaciones mecánicas, utilizando ecuaciones diferenciales.
L´Hopital (1661 – 1704)
La regla para calcular las formas indeterminadas funcionales y que se
formula así:
Sean dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en un intervalo I
que ambas tienden a cero (o a infinito) cuando la variable x tiende a Xo, si el
cociente de las derivadas f´(x)/g´(x) tiene un límite A cuando x tiende a Xo
entonces:
El límite cuando X tiende a Xo de f(x) entre g(x) es igual al A.
Agnesi, María Cayetana (1718-1779)
La curva de Agnesi o también llamada versiera, es el lugar geométrico de
puntos M y es obtenida a partir de una circunferencia, su ecuación es:
Y = a3 / a2 + x2
Es una curva racional de tercer orden con el eje de las x como asíntota
y su sólido por revolución generado es igual al cuádruple del área del círculo,
dónde a es igual al diámetro de la circunferencia.
Lagrange, José Luis (1736-1813)
Sus aportaciones al cálculo son variadas, se pueden mencionar en el
siguiente orden:
Ecuación diferencial de Lagrange
Ecuaciones del movimiento de Lagrange.
Fórmula de la interpolación de Lagrange.
Identidad de Lagrange.
Multiplicadores de Lagrange
Principio de Lagrange.
Gauss, Carlos Federico (1777-1855)
Su célebre “Método de los mínimos cuadrados”. La famosa inscripción del
polígono regular de 17 lados y todo el sistema de resolución de ecuaciones
binomias. Su notable trabajo sobre el Teorema Fundamental del Algebra, ahora
conocido también como Teorema de Gauss: “toda ecuación algebraica tiene una
raíz real o compleja, con la consiguiente posibilidad de descomponer un
polinomio en producto de factores simples. La serie hipergeométrica o serie de
Gauss. La clásica noción de la curvatura de las superficies. La ecuación
diferencial o Ecuación de Gauss.
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
En 1811, Cauchy resolvió el problema de Poinsot, generalización del
teorema de Euler sobre los poliedros. Un año más tarde, publicaría una memoria
sobre el cálculo de las funciones simétricas y el número de valores que una
función puede adquirir cuando se permutan de todas las maneras posibles las
cantidades que encierra. En 1814, apareció su memoria fundamental sobre las
integrales definidas y luego abordando el teorema de Fermat sobre los números
poligonales, llegó a demostrarlo, cosa que no pudieron Euler, Legendre,
Lagrange, ni Gauss. Uno de los mayores triunfos lo obtuvo dando vigor a las
demostraciones de Lagrange, ateniéndose al cálculo de ceros e infinitos y
fijando las convergencias de las series del análisis.
C O N C L U S I O N E S
El progreso de las ideas y pensamientos no se dan de un día para otro,
sino que existen muchos elementos que en la construcción son desechados,
reformulados o agregados. Las concepciones filosóficas sobre la realidad, el
papel de la ciencia, y en especial las concepciones sobre las características
que debe reunir el conocimiento matemático para ser considerado como
conocimiento científico, determinaron los enfoques realizados en cada época.
El impacto que tuvieron los personajes y las contribuciones aportadas
han impactado positivamente para ayudar a resolver problemas de todo tipo.
Los personajes antes mencionados no serán siempre los únicos ya que con
el paso del tiempo irán surgiendo nuevas mentes brillantes.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
http://historiadelcalculo504.blogspot.com/2012/08/introduccion_30.html
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
https://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Historia1.htm
https://www.monografias.com/trabajos99/historia-del-calculo/historia-del-calculo.shtml
https://es.slideshare.net/HelenaAyvar/historia-del-clculo-52861579
https://definicion.de/calculo/
https://es.m.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_exhaustivo
http://horadeaventura07.blogspot.com/2013/09/calculo-diferencial.html
